नाव, प्रवाह आणि नळ-टाकीची गणिते (Boats, Streams, Pipes & Cisterns)
★ विशेष स्मरणात ठेवण्यासाठी उच्च-मूल्य क्लृप्त्या (High-Value Mnemonics First)
MPSC CSAT परीक्षेत नाव-प्रवाह आणि नळ-टाकीवर आधारित कठीण कूटप्रश्न वेगाने सोडवण्यासाठी हे मुख्य कोअर भौतिक नियम आणि गणितीय साचे सर्वप्रथम तोंडपाठ ठेवा:
A. प्रवाहाच्या दिशेतील आणि विरुद्ध दिशेतील वेगाचा पायाभूत संच:
क्लृप्ती (Mnemonic): "प्रवाहाच्या सोबतीला वेगांची बेरीज (+), प्रवाहाच्या संकटात वेगांची वजाबाकी (-)"
- प्रवाहाच्या दिशेने वेग (Downstream Speed - D) ➔ $\text{नावेचा संथ पाण्यातील वेग (x)} + \text{प्रवाहाचा वेग (y)}$.
- प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग (Upstream Speed - U) ➔ $\text{नावेचा संथ पाण्यातील वेग (x)} - \text{प्रवाहाचा वेग (y)}$.
- *मास्टर रूपांतर:* $\text{नावेचा वेग (x)} = \frac{\text{D} + \text{U}}{२}$ आणि $\text{प्रवाहाचा वेग (y)} = \frac{\text{D} - \text{U}}{२}$.
B. नळ आणि टाकीमध्ये भरणाऱ्या व रिकाम्या करणाऱ्या नळांचा साचा:
क्लृप्ती (Mnemonic): "भरणारा नळ नेहमी धन (+), रिकामी करणारा (गळती) नेहमी ऋण (-)"
- टाकीमध्ये पाणी भरणारा इनलेट (Inlet) नळ कार्य करताना त्याचे काम **अधिक (+)** धरावे आणि टाकी रिकामी करणारा आउटलेट (Outlet) किंवा गळती नळ कार्य करताना काम **वजा (-)** धरावे.
१. नाव आणि प्रवाह (Boats & Streams): सर्व प्रगत सूक्ष्म उपप्रकार
नाव आणि प्रवाहाच्या गणितांमध्ये रेल्वेच्या अगदी उलट नियम चालतात. रेल्वेमध्ये दिशा विरुद्ध असल्यास वेगांची बेरीज होते, परंतु येथे नदी व नावेची दिशा विरुद्ध असल्यास वेगांची वजाबाकी होते.
उपप्रकार १.१: नावेचा किंवा प्रवाहाचा वैयक्तिक वेग शोधणे (Finding Individual Speeds)
सोडवण्याची पद्धत: प्रश्नात दिलेले अंतरे आणि वेळा यांवरून आधी प्रवाहाच्या दिशेतील वेग (D) आणि विरुद्ध दिशेतील वेग (U) काढावा, नंतर मास्टर रूपांतर सूत्र वापरावे.
उदा. १: एक नाव प्रवाहाच्या दिशेने २४ किमी अंतर ४ तासांत पार करते आणि तितकेच अंतर प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने पार करण्यास ६ तास घेते. तर संथ पाण्यात नावेचा वेग आणि प्रवाहाचा वेग किती?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. प्रवाहाच्या दिशेने वेग ($\text{D}$) = $\frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}} = \frac{२४}{४} = \mathbf{६ \text{ किमी/तास}}$.
२. प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग ($\text{U}$) = $\frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}} = \frac{२४}{६} = \mathbf{४ \text{ किमी/तास}}$.
३. संथ पाण्यात नावेचा वेग ($x$) = $\frac{\text{D} + \text{U}}{२} = \frac{६ + ४}{२} = \frac{१०}{२} = \mathbf{५ \text{ किमी/तास}}$.
४. प्रवाहाचा वेग ($y$) = $\frac{\text{D} - \text{U}}{२} = \frac{६ - ४}{२} = \frac{२}{२} = \mathbf{१ \text{ किमी/तास}}$.
उत्तर: नावेचा संथ पाण्यातील वेग ५ किमी/तास आणि प्रवाहाचा वेग १ किमी/तास असेल.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. प्रवाहाच्या दिशेने वेग ($\text{D}$) = $\frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}} = \frac{२४}{४} = \mathbf{६ \text{ किमी/तास}}$.
२. प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग ($\text{U}$) = $\frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}} = \frac{२४}{६} = \mathbf{४ \text{ किमी/तास}}$.
३. संथ पाण्यात नावेचा वेग ($x$) = $\frac{\text{D} + \text{U}}{२} = \frac{६ + ४}{२} = \frac{१०}{२} = \mathbf{५ \text{ किमी/तास}}$.
४. प्रवाहाचा वेग ($y$) = $\frac{\text{D} - \text{U}}{२} = \frac{६ - ४}{२} = \frac{२}{२} = \mathbf{१ \text{ किमी/तास}}$.
उत्तर: नावेचा संथ पाण्यातील वेग ५ किमी/तास आणि प्रवाहाचा वेग १ किमी/तास असेल.
उपप्रकार १.२: पट किंवा दुप्पट वेळेवर आधारित कठीण समीकरणे (Time Ratio Matrix)
शShort-cut प्रगत सूत्र: जेव्हा प्रवाहाच्या विरुद्ध जाण्यासाठी प्रवाहाच्या दिशेने जाण्यापेक्षा दुप्पट किंवा तिप्पट वेळ लागतो, तेव्हा: $\mathbf{\frac{\text{नावेचा वेग (x)}}{\text{प्रवाहाचा वेग (y)}} = \frac{\text{टी} + १}{\text{टी} - १}}$ (येथे T = वेळेची पट).
उदा. २: संथ पाण्यात एका नावेचा वेग ९ किमी/तास आहे. नदीच्या प्रवाहाविरुद्ध जाण्यासाठी नावेला प्रवाहाच्या दिशेने जाण्यापेक्षा तिप्पट वेळ लागतो, तर प्रवाहाचा वेग किती?
शॉर्टकट सूत्रानुसार सोडवणूक:
१. येथे नावेचा वेग $x = ९$, वेळेची पट $\text{T} = ३$, प्रवाहाचा वेग $y$ शोधायचा आहे.
२. सूत्रात टाकू: $\frac{९}{y} = \frac{३ + १}{३ - १} \rightarrow \frac{९}{y} = \frac{४}{२}$
३. $\frac{९}{y} = २ \rightarrow २y = ९ \rightarrow y = \frac{९}{२} = \mathbf{४.५ \text{ किमी/तास}}$.
उत्तर: नदीच्या प्रवाहाचा वेग ४.५ किमी/तास आहे.
शॉर्टकट सूत्रानुसार सोडवणूक:
१. येथे नावेचा वेग $x = ९$, वेळेची पट $\text{T} = ३$, प्रवाहाचा वेग $y$ शोधायचा आहे.
२. सूत्रात टाकू: $\frac{९}{y} = \frac{३ + १}{३ - १} \rightarrow \frac{९}{y} = \frac{४}{२}$
३. $\frac{९}{y} = २ \rightarrow २y = ९ \rightarrow y = \frac{९}{२} = \mathbf{४.५ \text{ किमी/तास}}$.
उत्तर: नदीच्या प्रवाहाचा वेग ४.५ किमी/तास आहे.
२. नळ आणि टाकी (Pipes & Cisterns): सर्व प्रगत सूक्ष्म उपप्रकार
नळ आणि टाकीची गणिते ही पूर्णपणे **काळ आणि काम (Time & Work)** या प्रकरणाच्या लसावि (LCM) पद्धतीवर चालतात.
उपप्रकार २.१: दोन्ही नळ एकत्र सुरू करणे (Basic Inlets Combined)
लसावि पद्धत: टाक्यांची एकूण क्षमता काढण्यासाठी नळांच्या वेळेचा लसावि (LCM) काढावा, ज्यामुळे एका तासाचे कार्य (Efficiency) मिळते.
उदा. ३: 'A' हा नळ एक टाकी १२ तासांत पूर्ण भरतो आणि 'B' हा नळ तीच टाकी १५ तासांत पूर्ण भरतो. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी सुरू केले, तर रिकामी टाकी किती वेळात पूर्ण भरेल?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. १२ आणि १५ चा लसावि (LCM) = **६०** (समजा टाकीची एकूण क्षमता ६० लीटर आहे).
२. नळ A ची कार्यक्षमता (प्रति तास पाणी भरणे) = $६० \div १२ = \mathbf{+५ \text{ लीटर}}$.
३. नळ B ची कार्यक्षमता (प्रति तास पाणी भरणे) = $६० \div १५ = \mathbf{+४ \text{ लीटर}}$.
४. दोन्ही नळ एकत्र सुरू केल्यास एका तासाचे एकूण कार्य = $+५ + ४ = \mathbf{+९ \text{ लीटर}}$.
५. एकूण लागणारा वेळ = $\frac{\text{एकूण क्षमता}}{\text{एकत्रित कार्यक्षमता}} = \frac{६०}{९} = \frac{२०}{३} = \mathbf{६ \text{ तास आणि } ४० \text{ मिनिटे}}$.
उत्तर: ती टाकी पूर्ण भरण्यास ६ तास ४० मिनिटे लागतील. *(थेट सूत्र: $\frac{x \times y}{x + y} = \frac{१२ \times १५}{१२ + १५} = \frac{१८०}{२७} = \mathbf{\frac{२०}{३}}$).*
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. १२ आणि १५ चा लसावि (LCM) = **६०** (समजा टाकीची एकूण क्षमता ६० लीटर आहे).
२. नळ A ची कार्यक्षमता (प्रति तास पाणी भरणे) = $६० \div १२ = \mathbf{+५ \text{ लीटर}}$.
३. नळ B ची कार्यक्षमता (प्रति तास पाणी भरणे) = $६० \div १५ = \mathbf{+४ \text{ लीटर}}$.
४. दोन्ही नळ एकत्र सुरू केल्यास एका तासाचे एकूण कार्य = $+५ + ४ = \mathbf{+९ \text{ लीटर}}$.
५. एकूण लागणारा वेळ = $\frac{\text{एकूण क्षमता}}{\text{एकत्रित कार्यक्षमता}} = \frac{६०}{९} = \frac{२०}{३} = \mathbf{६ \text{ तास आणि } ४० \text{ मिनिटे}}$.
उत्तर: ती टाकी पूर्ण भरण्यास ६ तास ४० मिनिटे लागतील. *(थेट सूत्र: $\frac{x \times y}{x + y} = \frac{१२ \times १५}{१२ + १५} = \frac{१८०}{२७} = \mathbf{\frac{२०}{३}}$).*
उपप्रकार २.२: टाकीला गळती किंवा रिकामी करणारा नळ असणे (Inlet & Outlet Combination)
उदा. ४: एक नळ एक टाकी ८ तासांत पूर्ण भरतो. परंतु टाकीच्या तळाशी गळती (Leakage) असल्यामुळे ती टाकी भरण्यास २ तास जास्त लागतात. जर पूर्ण भरलेल्या टाकीचा मुख्य नळ बंद केला, तर केवळ गळतीमुळे पूर्ण टाकी किती तासांत रिकामी होईल?
सविस्तर सोडवणूक:
१. भरणारा नळ (A) चा वेळ = ८ तास.
२. गळतीमुळे लागणारा नवीन एकूण वेळ (A + गळती) = $८ + २ = \mathbf{१० \text{ तास}}$.
३. ८ आणि १० चा लसावि = **४०** (टाकीची क्षमता ४० लीटर).
४. नळ A ची वैयक्तिक कार्यक्षमता = $४० \div ८ = \mathbf{+५ \text{ लीटर}}$.
५. एकत्रित कार्यक्षमता (A + गळती) = $४० \div १० = \mathbf{+४ \text{ लीटर}}$.
६. गळतीची वैयक्तिक कार्यक्षमता काढू: $+५ + \text{गळती} = +४ \rightarrow \text{गळती} = ४ - ५ = \mathbf{-१ \text{ लीटर}}$ (उणे चिन्ह म्हणजेच पाणी रिकामी करणे).
७. गळतीला पूर्ण टाकी रिकामी करण्यास लागणारा वेळ = $\frac{४०}{१} = \mathbf{४० \text{ तास}}$.
उत्तर: गळतीमुळे ती टाकी एकूण ४० तासांत पूर्ण रिकामी होईल.
सविस्तर सोडवणूक:
१. भरणारा नळ (A) चा वेळ = ८ तास.
२. गळतीमुळे लागणारा नवीन एकूण वेळ (A + गळती) = $८ + २ = \mathbf{१० \text{ तास}}$.
३. ८ आणि १० चा लसावि = **४०** (टाकीची क्षमता ४० लीटर).
४. नळ A ची वैयक्तिक कार्यक्षमता = $४० \div ८ = \mathbf{+५ \text{ लीटर}}$.
५. एकत्रित कार्यक्षमता (A + गळती) = $४० \div १० = \mathbf{+४ \text{ लीटर}}$.
६. गळतीची वैयक्तिक कार्यक्षमता काढू: $+५ + \text{गळती} = +४ \rightarrow \text{गळती} = ४ - ५ = \mathbf{-१ \text{ लीटर}}$ (उणे चिन्ह म्हणजेच पाणी रिकामी करणे).
७. गळतीला पूर्ण टाकी रिकामी करण्यास लागणारा वेळ = $\frac{४०}{१} = \mathbf{४० \text{ तास}}$.
उत्तर: गळतीमुळे ती टाकी एकूण ४० तासांत पूर्ण रिकामी होईल.
उपप्रकार २.३: आलटून-पालटून नळ सुरू ठेवणे (Alternate Hour Opening - High Level Trap)
उदा. ५: दोन नळ A आणि B अनुक्रमे १० आणि २० तासांत एक टाकी भरतात. जर सुरुवातीला नळ A सुरू केला आणि त्यानंतर प्रत्येक तासाला आलटून-पालटून (Alternately) एक-एक नळ एक तासासाठी सुरू ठेवला, तर ती टाकी किती वेळात भरेल?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. १० आणि २० चा लसावि = **२०** (टाकी क्षमता २० लीटर).
२. नळ A ची कार्यक्षमता = $२० \div १० = \mathbf{+२ \text{ लीटर}}$.
३. नळ B ची कार्यक्षमता = $२० \div २० = \mathbf{+१ \text{ लीटर}}$.
४. **२ तासांचे चक्र (Cycle):** पहिल्या तासाला A आला (+२ लीटर), दुसऱ्या तासाला B आला (+१ लीटर) ➔ एकूण २ तासांत ३ लीटर पाणी भरले गेले.
५. २० लीटर भरण्यासाठी ३ च्या पाढ्यातील सर्वात जवळची संख्या १८ आहे ($३ \times ६ = १८$ लीटर).
६. वेळही ६ पटीने वाढेल ➔ $२ \text{ तास} \times ६ = \mathbf{१२ \text{ तास}}$ (१२ तासांत १८ लीटर भरले गेले).
७. आता १३ व्या तासाला पुन्हा नळ A ची आळी येईल. उर्वरित पाणी भरायचे आहे = $२० - १८ = \mathbf{२ \text{ लीटर}}$.
८. नळ A एका तासात २ लीटरच भरतो, म्हणजेच त्याला पूर्ण १ तास लागेल.
९. एकूण वेळ = १२ तास + १ तास = **१३ तास**.
उत्तर: आलटून-पालटून नळ सुरू ठेवल्यास टाकी भरण्यास एकूण १३ तास लागतील.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. १० आणि २० चा लसावि = **२०** (टाकी क्षमता २० लीटर).
२. नळ A ची कार्यक्षमता = $२० \div १० = \mathbf{+२ \text{ लीटर}}$.
३. नळ B ची कार्यक्षमता = $२० \div २० = \mathbf{+१ \text{ लीटर}}$.
४. **२ तासांचे चक्र (Cycle):** पहिल्या तासाला A आला (+२ लीटर), दुसऱ्या तासाला B आला (+१ लीटर) ➔ एकूण २ तासांत ३ लीटर पाणी भरले गेले.
५. २० लीटर भरण्यासाठी ३ च्या पाढ्यातील सर्वात जवळची संख्या १८ आहे ($३ \times ६ = १८$ लीटर).
६. वेळही ६ पटीने वाढेल ➔ $२ \text{ तास} \times ६ = \mathbf{१२ \text{ तास}}$ (१२ तासांत १८ लीटर भरले गेले).
७. आता १३ व्या तासाला पुन्हा नळ A ची आळी येईल. उर्वरित पाणी भरायचे आहे = $२० - १८ = \mathbf{२ \text{ लीटर}}$.
८. नळ A एका तासात २ लीटरच भरतो, म्हणजेच त्याला पूर्ण १ तास लागेल.
९. एकूण वेळ = १२ तास + १ तास = **१३ तास**.
उत्तर: आलटून-पालटून नळ सुरू ठेवल्यास टाकी भरण्यास एकूण १३ तास लागतील.
★ परीक्षेत हमखास फसवणारे TRAPS आणि वेळेचे व्यवस्थापन (MPSC CSAT Math Traps)
- नाव-प्रवाहातील 'नदी काठच्या येण्या-जाण्याच्या' सरासरी वेगाचा कोअर ट्रॅप: "एक नाव नदीत एका स्थानकापासून दुसऱ्या स्थानकापर्यंत जाते आणि परत येते."
- कोअर भौतिकशास्त्र नियम: अशा गण्यातांमध्ये सरासरी वेग काढताना संथ पाण्यातील नावेचा वेग ($x$) आणि प्रवाहाचा वेग ($y$) घेऊन थेट $\frac{२xy}{x+y}$ हे सूत्र वापरू नका; कारण जाताना नाव प्रवाहाच्या दिशेने ($D = x+y$) जाईल व येताना विरुद्ध दिशेने ($U = x-y$) येईल. त्यामुळे आधी $D$ आणि $U$ चे मूल्य काढून, अंतिम सरासरी वेगाच्या सूत्रात **$\frac{२\text{DU}}{\text{D}+\text{U}}$** अशी मांडणी करावी लागते. हा विधानांचा सर्वोच्च कोअर ट्रॅप आहे.
- 'नळ बंद करण्याच्या' वेळेचा ट्रॅप: "दोन नळ एकत्र सुरू केले, परंतु टाकी भरण्याच्या २ मिनिटे आधी नळ B बंद केला." अशा गण्यातांमध्ये शेवटच्या २ मिनिटांत केवळ नळ A ने एकट्याने काम केले असते. त्यामुळे नळ A चे शेवटच्या २ मिनिटांचे पाणी एकूण क्षमतेतून आधीच वजा करून उरलेल्या कामाला दोघांच्या सुरुवातीच्या एकत्रित कार्यक्षमतेने भागावे.
- टाकीच्या क्षमतेचे लीटर कोडे (Capacity of Tank): "एक नळ टाकी तासाला ६० लीटर पाणी भरतो व दुसरा नळ ती १२ तासांत रिकामी करतो..." अशा गण्यातांमध्ये वेळ आणि कार्यक्षमतेचा लसावि काढून शेवटी १ भागाचे जे मूल्य मिळते, त्याला नळाच्या प्रति मिनिट/तास प्रवाहाच्या लीटर क्षमतेने गुणल्यास टाकीची एकूण वास्तविक लीटर क्षमता अचूक निघते.