टक्केवारी, नफा-तोटा आणि सूट (Percentages, Profit-Loss & Discount)
★ विशेष स्मरणात ठेवण्यासाठी उच्च-मूल्य क्लृप्त्या (High-Value Mnemonics First)
MPSC CSAT परीक्षेत वाणिज्य गणित (Commercial Math) न चुकता जलद सोडवण्यासाठी ही मूलभूत मुख्य सूत्रे आणि गुणोत्तरांचे साचे तोंडपाठ ठेवा:
A. नफा (Profit) आणि तोटा (Loss) टक्केवारी काढण्याचा पायाभूत नियम:
क्लृप्ती (Mnemonic): "नफा असो वा तोटा, खरेदी किंमत (CP) नेहमी खाली ठेवा!"
- शेकडा नफा (\%) सूत्र ➔ $\frac{\text{प्रत्यक्ष नफा}}{\text{खरेदी किंमत}} \times १००$.
- शेकडा तोटा (\%) सूत्र ➔ $\frac{\text{प्रत्यक्ष तोटा}}{\text{खरेदी किंमत}} \times १००$.
- *नियम:* जोपर्यंत प्रश्नात विशेष उल्लेख नसतो, तोपर्यंत शेकडा नफा किंवा तोटा नेहमी खरेदी किंमतीवरच (Cost Price) काढला जातो.
B. छापील किंमत, सूट आणि विक्री किंमत यांमधील कायदेशीर क्रम:
क्लृप्ती (Mnemonic): "सूट (Discount) नेहमी छापीलवर (MP), नफा नेहमी खरेदीवर (CP)"
- सूट (Discount) ➔ नेहमी छापील किंमतीवर (Marked Price) दिली जाते.
- विक्री किंमत (Selling Price) ➔ $\text{छापील किंमत} - \text{सूट}$.
१. टक्केवारी (Percentages): प्रगत संकल्पना व सर्व सूक्ष्म उपप्रकार
टक्केवारी म्हणजे 'प्रति शंभर' (Per Hundred) भाग होय. कॅल्क्युलेशनचा वेग वाढवण्यासाठी अपूर्णांक रूपांतर तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे: $२०\% = \frac{१}{५}$ | $२५\% = \frac{१}{४}$ | $३३.३३\% = \frac{१}{३}$ | $५०\% = \frac{१}{२}$.
उपप्रकार १.१: ए ची किंमत बी पेक्षा जास्त/कमी असणे (Inversion Shifts)
नियम: जर 'A' हा 'B' पेक्षा $x\%$ ने मोठा असेल, तर 'B' हा 'A' पेक्षा किती टक्के लहान आहे?
➔ सूत्र: $\mathbf{\left(\frac{x}{१०० + x}\right) \times १००}$. (लहान असल्यास छेद $१०० - x$ करावा).
उदा. १: अमेयचा पगार विजयच्या पगारापेक्षा २५% ने जास्त आहे, तर विजयचा पगार अमेयच्या पगारापेक्षा किती टक्क्यांनी कमी आहे?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. येथे वाढ $x = २५\%$ आहे.
२. सूत्रानुसार: $\text{टक्केवारी घट} = \left(\frac{२५}{१०० + २५}\right) \times १०० = \frac{२५}{१२५} \times १००$
३. $\frac{१}{५} \times १०० = \mathbf{२०\%}$.
उत्तर: विजयचा पगार अमेयपेक्षा २०% ने कमी आहे.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. येथे वाढ $x = २५\%$ आहे.
२. सूत्रानुसार: $\text{टक्केवारी घट} = \left(\frac{२५}{१०० + २५}\right) \times १०० = \frac{२५}{१२५} \times १००$
३. $\frac{१}{५} \times १०० = \mathbf{२०\%}$.
उत्तर: विजयचा पगार अमेयपेक्षा २०% ने कमी आहे.
उपप्रकार १.२: लागोपाठ होणारी शेकडा वाढ किंवा घट (Successive Percentage Change)
मास्टर सूत्र: एकूण परिणामी बदल = $\mathbf{A + B + \frac{A \times B}{१००}}$ (वाढ असल्यास मूल्य धन (+), घट किंवा तोटा असल्यास मूल्य ऋण (-) ठेवावे).
उदा. २: एका वस्तूची किंमत प्रथम २०% ने वाढवली आणि नंतर पुन्हा १०% ने घटवली, तर मूळ किंमतीत एकूण किती टक्के बदल झाला?
सूत्रानुसार सोडवणूक:
१. येथे पहिली वाढ $A = +२०$, दुसरी घट $B = -१०$.
२. सूत्रात किमती टाकू: $\text{एकूण बदल} = २० + (-१०) + \frac{२० \times (-१०)}{१००}$
३. $\text{एकूण बदल} = १० + \left(\frac{-२००}{१००}\right) = १० - २ = \mathbf{+८\%}$.
४. उत्तर धन आल्यामुळे मूळ किंमतीत निव्वळ वाढ झाली आहे.
उत्तर: वस्तूच्या किंमतीत एकूण ८% वाढ झाली.
सूत्रानुसार सोडवणूक:
१. येथे पहिली वाढ $A = +२०$, दुसरी घट $B = -१०$.
२. सूत्रात किमती टाकू: $\text{एकूण बदल} = २० + (-१०) + \frac{२० \times (-१०)}{१००}$
३. $\text{एकूण बदल} = १० + \left(\frac{-२००}{१००}\right) = १० - २ = \mathbf{+८\%}$.
४. उत्तर धन आल्यामुळे मूळ किंमतीत निव्वळ वाढ झाली आहे.
उत्तर: वस्तूच्या किंमतीत एकूण ८% वाढ झाली.
उपप्रकार १.३: परीक्षा गुण आणि टक्केवारी कोडे (Exam Marks Puzzles)
उदा. ३: एका परीक्षेत उत्तीर्ण होण्यासाठी ३५% गुणांची आवश्यकता आहे. एका विद्यार्थ्याला १५० गुण मिळाले आणि तो २५ गुणांनी अनुत्तीर्ण (Fail) झाला, तर ती परीक्षा एकूण किती गुणांची होती?
चरणबद्ध स्पष्टीकरण:
१. विद्यार्थ्याला मिळालेले गुण = १५०.
२. अनुत्तीर्ण होण्यासाठी कमी पडलेले गुण = २५.
३. म्हणजेच, उत्तीर्ण होण्यासाठी किमान गुण (Passing Marks) आवश्यक = $१५० + २५ = \mathbf{१७५}$.
४. प्रश्नात दिले आहे की उत्तीर्णतेची टक्केवारी ३५% आहे. म्हणजेच, एकूण गुणांचे ३५% = १७५ गुण.
५. $\text{एकूण गुण} \times \frac{३५}{१००} = १७५ \rightarrow \text{एकूण गुण} = \frac{१७५ \times १००}{३५}$.
६. ३५ ने १७५ ला भागल्यास ५ चा भाग जातो ($३५ \times ५ = १७५$) ➔ $५ \times १०० = \mathbf{५००}$.
उत्तर: ती परीक्षा एकूण ५०० गुणांची होती.
चरणबद्ध स्पष्टीकरण:
१. विद्यार्थ्याला मिळालेले गुण = १५०.
२. अनुत्तीर्ण होण्यासाठी कमी पडलेले गुण = २५.
३. म्हणजेच, उत्तीर्ण होण्यासाठी किमान गुण (Passing Marks) आवश्यक = $१५० + २५ = \mathbf{१७५}$.
४. प्रश्नात दिले आहे की उत्तीर्णतेची टक्केवारी ३५% आहे. म्हणजेच, एकूण गुणांचे ३५% = १७५ गुण.
५. $\text{एकूण गुण} \times \frac{३५}{१००} = १७५ \rightarrow \text{एकूण गुण} = \frac{१७५ \times १००}{३५}$.
६. ३५ ने १७५ ला भागल्यास ५ चा भाग जातो ($३५ \times ५ = १७५$) ➔ $५ \times १०० = \mathbf{५००}$.
उत्तर: ती परीक्षा एकूण ५०० गुणांची होती.
२. नफा आणि तोटा (Profit and Loss): प्रगत सूक्ष्म उपप्रकार
उपप्रकार २.१: विक्री संख्येवर आधारित नफा-तोटा (Article Based Profile - Core Trap)
नियम: जेव्हा 'X' वस्तूंची खरेदी किंमत ही 'Y' वस्तूंच्या विक्री किंमतीएवढी असते, तेव्हा नफा/तोटा काढताना छेदामध्ये खरेदी किंमत न ठेवता **विकलेल्या वस्तूंची संख्या (Y)** ठेवावी.
➔ सूत्र: $\mathbf{\text{शेकडा नफा/तोटा} = \frac{\text{वस्तूंच्या संख्येतील फरक}}{\text{विकलेल्या वस्तूंची संख्या}} \times १००}$.
उदा. ४: १५ वस्तूंची खरेदी किंमत ही १२ वस्तूंच्या विक्री किंमतीएवढी आहे, तर या व्यवहारात शेकडा नफा अथवा तोटा किती झाला?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. कमी वस्तू विकून समान पैसे मिळाले, म्हणजेच या व्यवहारात **नफा** झाला आहे.
२. वस्तूंच्या संख्येतील फरक = १५ - १२ = ३.
३. विकलेल्या वस्तूंची संख्या = १२.
४. सूत्रानुसार: $\text{शेकडा नफा} = \frac{३}{१२} \times १०० = \frac{१}{४} \times १०० = \mathbf{२५\%}$.
उत्तर: या व्यवहारात एकूण २५% नफा झाला.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. कमी वस्तू विकून समान पैसे मिळाले, म्हणजेच या व्यवहारात **नफा** झाला आहे.
२. वस्तूंच्या संख्येतील फरक = १५ - १२ = ३.
३. विकलेल्या वस्तूंची संख्या = १२.
४. सूत्रानुसार: $\text{शेकडा नफा} = \frac{३}{१२} \times १०० = \frac{१}{४} \times १०० = \mathbf{२५\%}$.
उत्तर: या व्यवहारात एकूण २५% नफा झाला.
उपप्रकार २.२: दोन वस्तू समान विक्री किंमतीला विकणे (Same Selling Price - Fixed Loss Trap)
नियम: जेव्हा दोन वेगवेगळ्या वस्तू हुबेहूब **समान विक्री किंमतीला** विकल्या जातात; आणि एकावर $x\%$ नफा व दुसऱ्यावर $x\%$ तोटा होतो, अशा व्यवहारात कधीही नफा होत नाही, नेहमी १००% तोटाच होतो.
➔ तोट्याचे थेट सूत्र: $\mathbf{\text{शेकडा तोटा} = \left(\frac{x}{१०}\right)^२}$.
उदा. ५: एका व्यापाऱ्याने दोन मोबाईल प्रत्येकी ₹ १०,००० ला विकले. एका मोबाईलवर त्याला २०% नफा झाला व दुसऱ्यावर २०% तोटा झाला. तर संपूर्ण व्यवहारात त्याला एकूण किती टक्के नफा किंवा तोटा झाला?
शॉर्टकट सोडवणूक:
१. येथे दोन्ही मोबाईलची विक्री किंमत समान आहे आणि नफा-तोटा टक्केवारी समान ($x = २०$) आहे.
२. नियमानुसार यात नेहमी तोटाच होणार ➔ $\text{शेकडा तोटा} = \left(\frac{२०}{१०}\right)^२ = (२)^२ = \mathbf{४\%}$.
उत्तर: संपूर्ण व्यवहारात व्यापाऱ्याला एकूण ४% तोटा झाला. (मूळ किंमत ₹ १०,००० चा गणितात काहीही वापर करण्याची गरज नाही).
शॉर्टकट सोडवणूक:
१. येथे दोन्ही मोबाईलची विक्री किंमत समान आहे आणि नफा-तोटा टक्केवारी समान ($x = २०$) आहे.
२. नियमानुसार यात नेहमी तोटाच होणार ➔ $\text{शेकडा तोटा} = \left(\frac{२०}{१०}\right)^२ = (२)^२ = \mathbf{४\%}$.
उत्तर: संपूर्ण व्यवहारात व्यापाऱ्याला एकूण ४% तोटा झाला. (मूळ किंमत ₹ १०,००० चा गणितात काहीही वापर करण्याची गरज नाही).
३. सूट आणि रिबेट (Discount & Successive Rebates)
उपप्रकार ३.१: लागोपाठच्या सुटींचा एकच समतुल्य बट्टा काढणे (Single Equivalent Discount)
सोडवण्याची पद्धत: बाजारात मिळणाऱ्या २०% आणि १०% अशा लागोपाठच्या सुटींची एकूण बेरीज ३०% होत नाही. ती काढण्यासाठी successive बदल सूत्र वापरावे, जिथे सूट असल्याने दोन्ही वजा (-) ठेवावे.
उदा. ६: एका कपड्याच्या दुकानात एका शर्टवर ग्राहकाला २०% आणि १०% अशी सलग दोन वेळा सूट दिली, तर ती एकूण किती टक्के एकाच सुटीसमान (Equivalent Discount) आहे?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. समजा शर्टची मूळ छापील किंमत = ₹ १००.
२. पहिली २०% सूट दिली ➔ $१०० - २० = \text{किंमत झाली } ₹ ८०$.
३. आता दुसरी १०% सूट ही ८० रुपयांवर दिली जाईल ➔ $८० \text{ चे } १०\% = \mathbf{८ \text{ रुपये}}$.
४. अंतिम विक्री किंमत = $८० - ८ = \text{₹ } ७२$.
५. एकूण मिळालेली प्रत्यक्ष सूट = १०० - ७२ = **२८ रुपये**.
उत्तर: २०% आणि १०% ची सलग सूट ही एकाच २८% सुटीसमान आहे. *(किंवा सूत्र: $-२० -१० + \frac{(-२०) \times (-१०)}{१००} = -३० + २ = \mathbf{-२८\%}$).*
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. समजा शर्टची मूळ छापील किंमत = ₹ १००.
२. पहिली २०% सूट दिली ➔ $१०० - २० = \text{किंमत झाली } ₹ ८०$.
३. आता दुसरी १०% सूट ही ८० रुपयांवर दिली जाईल ➔ $८० \text{ चे } १०\% = \mathbf{८ \text{ रुपये}}$.
४. अंतिम विक्री किंमत = $८० - ८ = \text{₹ } ७२$.
५. एकूण मिळालेली प्रत्यक्ष सूट = १०० - ७२ = **२८ रुपये**.
उत्तर: २०% आणि १०% ची सलग सूट ही एकाच २८% सुटीसमान आहे. *(किंवा सूत्र: $-२० -१० + \frac{(-२०) \times (-१०)}{१००} = -३० + २ = \mathbf{-२८\%}$).*
उपप्रकार ३.२: खरेदीवर वस्तू मोफत मिळणे (Buy Get Free Dynamics)
उदा. ७: एका दुकानात '५ वस्तूंच्या खरेदीवर ३ वस्तू मोफत' (Buy 5 Get 3 Free) अशी ऑफर सुरू आहे, तर दुकानदार ग्राहकाला प्रत्यक्ष किती टक्के सूट देत आहे?
कोअर तांत्रिक लॉजिक स्पष्टीकरण:
१. ग्राहकाला मोफत मिळालेल्या वस्तू = ३ (हा ग्राहकाचा फायदा म्हणजेच प्रत्यक्ष सूट आहे).
२. दुकानातून बाहेर पडलेल्या एकूण वस्तूंची संख्या = ५ (खरेदी केलेल्या) + ३ (मोफत मिळालेल्या) = **८ वस्तू**.
३. सूट टक्केवारीचे अचूक सूत्र: $\frac{\text{मोफत वस्तू}}{\text{एकूण वस्तू}} \times १००$.
४. $\text{सूट } \% = \frac{३}{८} \times १०० = ३ \times १२.५ = \mathbf{३७.५\%}$.
उत्तर: दुकानदार ग्राहकाला एकूण ३७.५% सूट देत आहे. (छेदामध्ये ५ ठेवल्यास उत्तर चुकून ६०% येते, हा सर्वात मोठा कोअर ट्रॅप आहे).
कोअर तांत्रिक लॉजिक स्पष्टीकरण:
१. ग्राहकाला मोफत मिळालेल्या वस्तू = ३ (हा ग्राहकाचा फायदा म्हणजेच प्रत्यक्ष सूट आहे).
२. दुकानातून बाहेर पडलेल्या एकूण वस्तूंची संख्या = ५ (खरेदी केलेल्या) + ३ (मोफत मिळालेल्या) = **८ वस्तू**.
३. सूट टक्केवारीचे अचूक सूत्र: $\frac{\text{मोफत वस्तू}}{\text{एकूण वस्तू}} \times १००$.
४. $\text{सूट } \% = \frac{३}{८} \times १०० = ३ \times १२.५ = \mathbf{३७.५\%}$.
उत्तर: दुकानदार ग्राहकाला एकूण ३७.५% सूट देत आहे. (छेदामध्ये ५ ठेवल्यास उत्तर चुकून ६०% येते, हा सर्वात मोठा कोअर ट्रॅप आहे).
★ परीक्षेत हमखास फसवणारे TRAPS आणि वेळेचे व्यवस्थापन (MPSC CSAT Math Traps)
- 'खरेदी किंमत' आणि अतिरिक्त खर्चाचा (Overhead Expenses) कोअर ट्रॅप: जर गणितात दिले असेल की, "एक जुनी सायकल ₹ २,००० ला खरेदी केली आणि तिच्या दुरुस्तीसाठी ₹ ५०० खर्च केले, नंतर ती ₹ ३,००० ला विकली."
- कोअर दुरुस्ती नियम: दुरुस्ती, वाहतूक किंवा हमालीचा खर्च हा नेहमी मूळ खरेदी किंमतीतच मिळवावा लागतो, तरच 'एकूण वास्तविक खरेदी किंमत' मिळते. येथे एकूण खरेदी किंमत = $२००० + ५०० = \mathbf{२५००}$ धरायची. नफा = ३००० - २५०० = ५००. शेकडा नफा = $\frac{५००}{२५००} \times १०० = \mathbf{२०\%}$. दुरुस्तीचा खर्च न जोडल्यास उत्तर चुकीचे येते.
- 'फसव्या वजनाचा' दुकानदार (Dishonest Shopkeeper): "एक दुकानदार वस्तू खरेदी किंमतीलाच विकण्याचा दावा करतो, परंतु १ किलो वजनाऐवजी ९०० ग्रॅमचेच चुकीचे वजन वापरतो."
- शॉर्टकट सूत्र: $\text{नफा } \% = \frac{\text{केलेली फसवणूक (त्रुटी)}}{\text{प्रत्यक्ष दिलेले वजन}} \times १००$. येथे १ किलो (१००० ग्रॅम) ऐवजी ९०० ग्रॅम दिले, म्हणजेच १०० ग्रॅमची फसवणूक केली. $\text{नफा } \% = \frac{१००}{९००} \times १०० = \frac{१००}{९} = \mathbf{११.११\%}$.
- लोकसंख्येची वाढ आणि चक्रवाढ व्याजाचे लॉजिक: जर एखाद्या शहराची लोकसंख्या दरवर्षी १०% ने वाढते, तर २ वर्षांनंतरची लोकसंख्या काढण्यासाठी साध्या सरळ व्याजाऐवजी नेहमी **यशस्वी वाढीचे (Successive)** म्हणजेच चक्रवाढ व्याजाचे लॉजिक वापरावे ($१० + १० + \frac{१० \times १०}{१००} = \mathbf{२१\%}$ एकूण वाढ होईल, २०% नाही).