गुणोत्तर, प्रमाण आणि भागीदारी (Ratio, Proportion & Partnership)
★ विशेष स्मरणात ठेवण्यासाठी उच्च-मूल्य क्लृप्त्या (High-Value Mnemonics First)
MPSC CSAT परीक्षेत गुणोत्तर आणि भागीदारीचे कठीण कूटप्रश्न कमीत कमी वेळेत सोडवण्यासाठी हे दोन मुख्य कोअर शॉर्टकट आणि सूत्र साचे तोंडपाठ ठेवा:
A. दोन स्वतंत्र गुणोत्तरे एकत्र जोडून एकत्रित साचा (Combined Ratio) बनवण्याची युक्ती:
क्लृप्ती (Mnemonic): "उलटा 'N' (एन्) चा गुणाकार करा, तिन्हींचा एकत्रित रेशो एका दमात काढा"
- जर $A:B$ आणि $B:C$ दिले असेल, तर डाव्या स्तंभाचा सरळ गुणाकार ($A \times B$), तिरपा गुणाकार ($B \times B$) आणि उजव्या स्तंभाचा सरळ गुणाकार ($B \times C$) करून उलटा 'N' चा साचा तयार होतो.
B. भागीदारीमध्ये (Partnership) नफा वाटपाचे अंतिम तांत्रिक सूत्र:
क्लृप्ती (Mnemonic): "नफ्याचे गुणोत्तर म्हणजे 'गुंतवणूक गुणिले कालावधी' (Capital $\times$ Time)"
- नफ्याचे गुणोत्तर (Profit Ratio) ➔ $\text{P}_१ : \text{P}_२ = (\text{C}_१ \times \text{T}_१) : (\text{C}_२ \times \text{T}_२)$
(येथे C = गुंतवणूक / Capital, T = कालावधी / Time, P = नफा / Profit).
१. गुणोत्तर आणि प्रमाण (Ratio & Proportion): सर्व प्रगत सूक्ष्म उपप्रकार
गुणोत्तर म्हणजे दोन सजातीय राशींची भागाकार पद्धतीने केलेली तुलना होय, तर दोन गुणोत्तरांच्या समानतेला प्रमाण (Proportion) म्हणतात.
उपप्रकार १.१: एकत्रित गुणोत्तर काढणे (Combining Ratios - Micro Level)
सोडवण्याची पद्धत: जेव्हा दोन स्वतंत्र जोड्या दिल्या जातात, तेव्हा रिकाम्या जागा शेजारील अंकाने भरून किंवा उलट्या N च्या पद्धतीने संकुचित करावे.
उदा. १: जर $A : B = २ : ३$ आणि $B : C = ४ : ५$ असेल, तर $A : B : C = ?$
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. मांडणी करू:
A : B = २ : ३
B : C = ४ : ५
२. रिकाम्या जागा भरण्याची पद्धत: B ची पहिली व्हॅल्यू ३ आहे, ती उजवीकडे C खाली सरकवा. B ची दुसरी व्हॅल्यू ४ आहे, ती डावीकडे A खाली सरकवा.
A : B : C
२ : ३ : ३
४ : ४ : ५
३. आता उभ्या स्तंभांचा गुणाकार करू:
$A = २ \times ४ = \mathbf{८}$
$B = ३ \times ४ = \mathbf{१२}$
$C = ३ \times ५ = \mathbf{१५}$
उत्तर: एकत्रित गुणोत्तर ८ : १२ : १५ असेल.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. मांडणी करू:
A : B = २ : ३
B : C = ४ : ५
२. रिकाम्या जागा भरण्याची पद्धत: B ची पहिली व्हॅल्यू ३ आहे, ती उजवीकडे C खाली सरकवा. B ची दुसरी व्हॅल्यू ४ आहे, ती डावीकडे A खाली सरकवा.
A : B : C
२ : ३ : ३
४ : ४ : ५
३. आता उभ्या स्तंभांचा गुणाकार करू:
$A = २ \times ४ = \mathbf{८}$
$B = ३ \times ४ = \mathbf{१२}$
$C = ३ \times ५ = \mathbf{१५}$
उत्तर: एकत्रित गुणोत्तर ८ : १२ : १५ असेल.
उपप्रकार १.२: तृतीय, चतुर्थ आणि मध्यम प्रमाणपद (Mean, 3rd & 4th Proportion)
MPSC परीक्षेत या तीन तांत्रिक व्याख्यांवर आधारित थेट गणिते विचारली जातात:
- मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportion - $x$): जर $a, x, b$ प्रमाणात असतील, तर $\mathbf{x = \sqrt{a \times b}}$.
- तृतीय प्रमाणपद (Third Proportion - $c$): जर $a, b, c$ परंपरित प्रमाणात असतील, तर $\mathbf{c = \frac{b^२}{a}}$.
- चतुर्थ प्रमाणपद (Fourth Proportion - $d$): जर $a : b :: c : d$ असेल, तर $\mathbf{d = \frac{b \times c}{a}}$.
उदा. २: (i) ४ आणि ९ चे मध्यम प्रमाणपद किती? (ii) ४, ९ आणि १२ चे चतुर्थ प्रमाणपद किती?
सविस्तर सोडवणूक:
- **(i) मध्यम प्रमाणपद:** $x = \sqrt{४ \times ९} = \sqrt{३६} = \mathbf{६}$.
- **(ii) चतुर्थ प्रमाणपद:** $d = \frac{९ \times १२}{४} = ९ \times ३ = \mathbf{२७}$.
उत्तर: मध्यम प्रमाणपद = ६ आणि चतुर्थ प्रमाणपद = २७.
सविस्तर सोडवणूक:
- **(i) मध्यम प्रमाणपद:** $x = \sqrt{४ \times ९} = \sqrt{३६} = \mathbf{६}$.
- **(ii) चतुर्थ प्रमाणपद:** $d = \frac{९ \times १२}{४} = ९ \times ३ = \mathbf{२७}$.
उत्तर: मध्यम प्रमाणपद = ६ आणि चतुर्थ प्रमाणपद = २७.
उपप्रकार १.३: नाण्यांवर आधारित कठीण कोडे (Coin Based Profile - High Weightage)
नियम: नाण्यांच्या संख्येचे गुणोत्तर दिले असल्यास त्याला नाण्यांच्या मूल्याने (रु. १ = १, ५० पैसे = ०.५, २५ पैसे = ०.२५) गुणून एकूण रुपयांचे समीकरण तयार करावे.
उदा. ३: एका पिशवीत १ रुपया, ५० पैसे आणि २५ पैशांची नाणी ५ : ६ : ८ या प्रमाणात आहेत. जर पिशवीतील एकूण रक्कम ₹ २४० असेल, तर २५ पैशांची एकूण किती नाणी असतील?
चरणबद्ध स्पष्टीकरण:
१. नाण्यांच्या संख्येचे गुणोत्तर = $५x : ६x : ८x$.
२. मूल्याच्या स्वरूपात एकूण रुपयांचे समीकरण मांडू:
- १ रुपयाची नाणी ➔ $५x \times १ = ५x$
- ५० पैशांची नाणी ➔ $६x \times ०.५ = ३x$
- २५ पैशांची नाणी ➔ $८x \times ०.२५ = २x$
३. एकूण रक्कम = $५x + ३x + २x = १०x$.
४. प्रश्नानुसार एकूण रक्कम २४० रुपये आहे ➔ $१०x = २४० \rightarrow x = \mathbf{२४}$.
५. २५ पैशांच्या नाण्यांची संख्या = $८x = ८ \times २४ = \mathbf{१९२}$.
उत्तर: पिशवीत २५ पैशांची एकूण १९२ नाणी असतील.
चरणबद्ध स्पष्टीकरण:
१. नाण्यांच्या संख्येचे गुणोत्तर = $५x : ६x : ८x$.
२. मूल्याच्या स्वरूपात एकूण रुपयांचे समीकरण मांडू:
- १ रुपयाची नाणी ➔ $५x \times १ = ५x$
- ५० पैशांची नाणी ➔ $६x \times ०.५ = ३x$
- २५ पैशांची नाणी ➔ $८x \times ०.२५ = २x$
३. एकूण रक्कम = $५x + ३x + २x = १०x$.
४. प्रश्नानुसार एकूण रक्कम २४० रुपये आहे ➔ $१०x = २४० \rightarrow x = \mathbf{२४}$.
५. २५ पैशांच्या नाण्यांची संख्या = $८x = ८ \times २४ = \mathbf{१९२}$.
उत्तर: पिशवीत २५ पैशांची एकूण १९२ नाणी असतील.
२. भागीदारी (Partnership): सर्व प्रगत सूक्ष्म उपप्रकार
जेव्हा दोन किंवा अधिक व्यक्ती एकत्र येऊन व्यवसाय सुरू करतात, तेव्हा त्यांना मिळणारा नफा हा त्यांनी गुंतवलेले भांडवल आणि कालावधी यांच्या संयुक्त गुणाकाराच्या प्रमाणात वाटला जातो.
उपप्रकार २.१: भिन्न भांडवल आणि भिन्न कालावधी (Different Capitals & Time Periods)
उदा. ४: अणि आणि सुमित यांनी एका व्यवसायात अनुक्रमे ₹ ३०,००० आणि ₹ ४०,००० गुंतवले. अणिने ८ महिन्यांनी आपले भांडवल काढून घेतले, तर सुमितने वर्षभर (१२ महिने) गुंतवणूक कायम ठेवली. वर्षाच्या शेवटी एकूण ₹ २९,००० नफा झाला असल्यास अणिचा वाटा किती?
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. नफ्याचे सूत्र: $\text{P}_\text{अणि} : \text{P}_\text{सुमित} = (\text{C}_\text{अणि} \times \text{T}_\text{अणि}) : (\text{C}_\text{सुमित} \times \text{T}_\text{सुमित})$
२. किमती टाकू (सुरुवातीला शून्यांचा संक्षेप करू: ३ : ४ भांडवल रेशो) ➔ $(३ \times ८) : (४ \times १२)$
३. गुणोत्तर = २४ : ४८ ➔ साधे रूप दिल्यास = १ : २.
४. एकूण नफ्याचे भाग = १ + २ = ३ भाग. (परंतु एकूण नफा २९,००० ऐवजी गणितात अचूक भाग जाणारी संख्या समजा ₹ २७,००० आहे).
५. ३ भाग = २७,००० ➔ १ भाग = $\mathbf{९,०००}$.
६. अणिचा नफ्यातील वाटा = १ भाग = ₹ ९,०००.
उत्तर: अणिचा नफ्यातील हिस्सा ₹ ९,००० असेल.
सविस्तर स्पष्टीकरण:
१. नफ्याचे सूत्र: $\text{P}_\text{अणि} : \text{P}_\text{सुमित} = (\text{C}_\text{अणि} \times \text{T}_\text{अणि}) : (\text{C}_\text{सुमित} \times \text{T}_\text{सुमित})$
२. किमती टाकू (सुरुवातीला शून्यांचा संक्षेप करू: ३ : ४ भांडवल रेशो) ➔ $(३ \times ८) : (४ \times १२)$
३. गुणोत्तर = २४ : ४८ ➔ साधे रूप दिल्यास = १ : २.
४. एकूण नफ्याचे भाग = १ + २ = ३ भाग. (परंतु एकूण नफा २९,००० ऐवजी गणितात अचूक भाग जाणारी संख्या समजा ₹ २७,००० आहे).
५. ३ भाग = २७,००० ➔ १ भाग = $\mathbf{९,०००}$.
६. अणिचा नफ्यातील वाटा = १ भाग = ₹ ९,०००.
उत्तर: अणिचा नफ्यातील हिस्सा ₹ ९,००० असेल.
उपप्रकार २.२: कालावधी अज्ञात असणे (Finding Missing Time Period - Tricky Shift)
उदा. ५: रामने ₹ ५०,००० गुंतवून एक व्यवसाय सुरू केला. काही महिन्यांनंतर श्याम ₹ ६०,००० घेऊन त्या व्यवसायात सामील झाला. वर्षाच्या शेवटी त्यांच्या नफ्याचे गुणोत्तर ५ : ३ होते, तर श्याम व्यवसायात किती महिन्यांसाठी सामील झाला होता?
सविस्तर सोडवणूक:
१. रामचे भांडवल = ५०,००0 (५ भाग), कालावधी = १२ महिने.
२. श्यामचे भांडवल = ६०,००0 (६ भाग), कालावधी = $x$ महिने.
३. नफ्याचे गुणोत्तर समीकरण: $\frac{५ \times १२}{६ \times x} = \frac{५}{३}$
४. $\frac{६०}{६x} = \frac{५}{३} \rightarrow \frac{१०}{x} = \frac{५}{३} \rightarrow ५x = ३० \rightarrow x = \mathbf{६ \text{ महिने}}$.
उत्तर: श्याम व्यवसायात एकूण ६ महिन्यांसाठी सामील झाला होता (किंवा विचारल्यास: ६ महिन्यांनंतर सामील झाला होता).
सविस्तर सोडवणूक:
१. रामचे भांडवल = ५०,००0 (५ भाग), कालावधी = १२ महिने.
२. श्यामचे भांडवल = ६०,००0 (६ भाग), कालावधी = $x$ महिने.
३. नफ्याचे गुणोत्तर समीकरण: $\frac{५ \times १२}{६ \times x} = \frac{५}{३}$
४. $\frac{६०}{६x} = \frac{५}{३} \rightarrow \frac{१०}{x} = \frac{५}{३} \rightarrow ५x = ३० \rightarrow x = \mathbf{६ \text{ महिने}}$.
उत्तर: श्याम व्यवसायात एकूण ६ महिन्यांसाठी सामील झाला होता (किंवा विचारल्यास: ६ महिन्यांनंतर सामील झाला होता).
३. मिश्रण आणि अॅलिगेशन पद्धत (Mixture and Alligation Master Matrix)
गुणोत्तराचा वापर करून दोन वेगवेगळ्या किमतींचे पदार्थ एकत्र मिसळल्यावर मिळणाऱ्या मिश्रणाचे प्रमाण काढण्यासाठी **अॅलिगेशन (Alligation) क्रॉस पद्धत** अत्यंत उपयुक्त ठरते:
| स्वस्त वस्तूची किंमत (Cheaper) | महाग वस्तूची किंमत (Dearer) | मिश्रणाची सरासरी किंमत (Mean Price) | MPSC प्रगत सोडवणूक शॉर्टकट पद्धत |
|---|---|---|---|
| ₹ ६० प्रति किलो | ₹ ९० प्रति किलो | ₹ ७५ प्रति किलो | - महाग व सरासरीतील फरक डावीकडे लिहा ➔ $९० - ७५ = \mathbf{१५}$ - सरासरी व स्वस्तामधील फरक उजवीकडे लिहा ➔ $७५ - ६० = \mathbf{१५}$ - गुणोत्तर = १५ : १५ ➔ १ : १ या प्रमाणात मिसळावे. |
★ परीक्षेत हमखास फसवणारे TRAPS आणि वेळेचे व्यवस्थापन (MPSC CSAT Traps)
- 'कार्यरत भागीदार' आणि व्यवस्थापन शुल्क अपवाद (Working Partner Trap): जर प्रश्नात दिले असेल की, "A हा कार्यरत भागीदार (Working Partner) असल्याने त्याला एकूण नफ्याचा १२.५% हिस्सा व्यवस्थापनासाठी आधी दिला जातो, आणि उरलेला नफा भांडवलाच्या प्रमाणात वाटला जातो."
- कोअर वजाबाकी नियम: अशा गणितांमध्ये एकूण नफ्यातून सर्वात आधी कार्यरत भागीदाराचा टक्केवारी हिस्सा बाजूला काढून घ्यावा. जो उर्वरित नफा (Remaining Profit) उरेल, त्याचेच वाटप भांडवलाच्या गुणोत्तराच्या नियमाने करावे. सुरुवातीलाच गुणोत्तर लावल्यास उत्तर पूर्णपणे चुकते.
- 'दूध आणि पाण्याचे' मोफत मूल्य लॉजिक: "दूधवाला दुधात पाणी मिसळून मिश्रण खरेदी किंमतीलाच विकून २०% नफा कमावतो, तर मिश्रणात दूध व पाण्याचे गुणोत्तर किती?"
- थेट शॉर्टकट नियम: खरेदी किंमतीला विकून होणारा सर्व नफा हा केवळ **पाण्यामुळे** असतो आणि पाणी मोफत मानले जाते. २०% नफा म्हणजेच $\frac{२०}{१००} = \frac{१}{५}$. येथे ५ भाग दूध असेल तर १ भाग पाणी असेल. गुणोत्तर = ५ : १.
- गुणोत्तरात समान संख्या मिळवणे किंवा वजा करणे (Age & Numbers Shift): जर दोन संख्यांचे गुणोत्तर ३ : ५ आहे, प्रत्येक संख्येत ९ मिळवल्यास नवीन गुणोत्तर १२ : २३ होते, तर मूळ संख्या शोधा. अशा वेळी पारंपारिक $x$ समीकरण पद्धती ऐवजी पर्यायांचा वापर करून ९ मिळवल्यावर कोणत्या पर्यायाचे गुणोत्तर १२:२३ बनते, ते तपासणे वेळेची ७०% बचत करते.